Bloque 4: APLICA Y REPRESENTA LA PROBABILIDAD BINOMIAL Y DISTRIBUCION DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

4.1 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante.

Esta distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:

* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A, llamado éxito, y el suceso B , llamado fracaso.

* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba del experimento a otra.

* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.

Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli.

En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:

Donde:

P(X)= es la probabilidad de ocurrencia del evento

p = es la probabilidad de éxito del evento (en un intento)

q = es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) (se define como q = 1 – p )

X = ocurrencia del evento o éxitos deseados

n = número de intentos

EJEMPLO

¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar una misma moneda 6 veces ?

Donde:
P(X)= Probabilidad de que ocurra el evento
p = (0.5)
q = (se define como q = 1 – p ) (0.5)
X = 2
n = 6

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Se emplea para calcular la probabilidad de obtener determinado número de éxitos en un espacio 

muestral de n ensayos; pero a diferencia de la distribución binomial es que los datos de la muestra se 

extraen sin reemplazo en una población finita. Por esto es que el resultado de una observación depende

o es afectado por el resultado de cualquier otra u otras observaciones anteriores. 

Es decir la distribución hipergeométrica se emplea para muestreos sin reemplazo de una población finita 

cuya probabilidad de ocurrencia cambia a lo largo del ensayo.

Dado un espacio muestral S de tamaño N con los subespacios M ⊂ N y (N - M) ⊂ N entonces, la 

probabilidad de que en n ensayos x pertenezca a M y (n - x) pertenezca a (N - M) está dada por:

 P(x ,N, M, n)= (M/X)(N-M/x-n) /( N/n)

  donde: 

N = El tamaño de espacio muestral S

n = El número de ensayos 

M = El número de éxitos en el espacio muestral 

N - M = Número de fracasos del espacio muestral 

x = Número de éxitos en la muestra 

n - x = Número de fracasos de la muestra. 

Si en una empresa se presentan para cubrir dos vacantes 13 aspirantes de los cuales 5 son hombres y 

8 son mujeres, calcular " El número de hombres contratados." 

N = {13 aspirantes para cubrir 2 vacantes} 

A = {Número de hombres contratados}

E0 = Se contratan x0 = 0 hombres, equivale a contratar (n - x0) = 2 mujeres. 

E1 = Se contratan x1 = 1 hombres, equivale a contratar (n - x1) = 1 mujeres. 

E2 = Se contratan x2 = 2 hombres, equivale a contratar (n - x2) = 0 mujeres.

desarrollando 

N = 13 total de aspirantes 

M = 5 aspirantes hombres 

N-M = 8 aspirantes mujer 

n = 2 vacantes totales 

x = 0,1,2 hombres posibles a contratar 

n-x = 2,1,0 mujeres posibles a contratar

P(E₀₎  = P(0,13,5,2)=(5/0)(8/2)/(13/2)= 28/78 = 35. 88%

P(E₁₎  = P(1,13,5,2)=(5/1)(8/1)/(13/2)= 40/78 =51.28%

P(E₂₎  = P(2,13,5,2)=(5/2)(8/0)/(13/2)= 10/78 = 12.82%

EJERCICIOS CON RESPUESTAS

1.- Se lanza una moneda 4 veces. calcular la probabilidad de que salgan mas caras que cruces.

SOL.- 0.3125

2.- Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que tienen buena salud. según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona es estas condiciones viva 30 años o mas es de 2/3. hallar  la probabilidad de que. transcurridos 30 años vivan las cinco persoans.

Sol.- 0.132

3.- del ejercico anterio calcular la probabilidad de que vivan al menos tres persoanas

Sol.- 0.791

4.- si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicado, ¿ cuál es la probabilidad de que cuando se marquen 10 numeros de telefono elegidos al azar, sólo comuniquen 2?

Sol.- 0.3020

5.- La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es de 1/4. si dispara 10 veces ¿ cúal es la probabilidad de que acierte exactamente en tres oacaciones?

Sol.- 0.25

6.- ¿En donde se utiliza la distribucion binomial?

sol. Juegos de azar, Control de calidad de un producto , en educación. en las finanzas. 

7.- menciona el nombre del autor quen planteo la distribucion binomial

Sol.- Jacobo Bernoulli 

8.- un examen consta de 10 preguntas a las que hay que contestar si o no, suponiendo que a las personas que se le aplica no sabe contestar a ninguna de las preguntas y en consecuencia contesta la azar. ¿cuál es la probabilidad de tener 5 aciertos?

sol.- 0.2461

9.- ¿cual es la probabilidad de obtener algún acierto?

Sol.- 0.99

10.- La probabilidad de que un estudiante obtenga un titulo de licenciatura es de 0.3. hallara la probabilidad de que un grupo de siete estudiantes matriculados en primer curso finalice la carrea

SOL.- 0.7

11.- ninguno de los siete finalice la carrera

sol.- 0.0824

12.- al menos 2 acaben la carrera

Sol.- 0.0002

13.- La probabilidad de que un alumno de 1° de bachillerato repita curso es de 0.3, elegimos 20 alumnos al azar ¿ cual es la probabilidad de que haya exactamente 4 alumnos repetidores?

Sol.- 0.13

14.-  calcular la probabilidad de que una familia que tiene cuatro hijos, tres de ellos sean niños.

Sol.- 0.25

15.- cinco fabricantes producen en determinado dispositivo,cuya calidad varia de un fabricante a otro. se eligen 3 fabricantes al azar haya la probabilidad de que la seleccion contengan 2 de las 3 mejores

Sol.- 0.6

17.- En una oficina donde se ensamblan computadoras, en una mesa hay 20 chips, de los cuales 6 están dañados,el señor gates recoge 8 chips y mas tarde otra persona recoje los restantes,¿ cual es la probabilidad de que sólo uno de ellos se hay llevado todos los chips defectuosos?

Sol.- 0.0245

18.- en un lote de 10 proyectiles se disparan 4 al azar si el lote contiene 5 proyectiles que no disparan ¿ cuál es la probabilidad de que los 4 disparen?

Sol.- 0.0238

19.- En una fiesta hay 20 personas ; 14 casadas y 6 solteras, se eligen 3 personas al azar ¿cuál es la probabilidad de que las 3 sean solteras?

Sol.- 0.0175

20.-En una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. se sacan 4 bolas ¿cuál es la probabilidad de que 3 sean blancas?

Sol.- 0.3535

4.2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CON VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo.

Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales

Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor tomado es totalmente al azar), y puede ser de dos tipos:

 Variable aleatoria continua. Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre dos

valores cualesquiera; ésta puede asumir infinito número de valores y éstos se pueden medir.

La estatura de un alumno de un grupo escolar.

El peso en gramos de una moneda.

La edad de un hijo de familia.

Las dimensiones de un vehículo.

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA (x).

Se llama asi Porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos dentro de un mismo intervalo. Por ejemplo:

x es la Variable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral (14.8 gr, 12.1, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8, …, n)

PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (X)

p(x) Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de densidad de probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero.

Diremos que una variable aleatoria X continua tiene una distribución absolutamente continua si existe una función real f, positiva e integrable en el conjunto de números reales, tal que la función de distribución F de X se puede expresar como

EJERCICIOS CON RESPUESTAS  

Sea X una variable aleatoria que tiene como función de densidad de probabilidad f(x)=a(1+x2) si x ∈ (0,3) y f(x) = 0 

en los dem´as casos. Se pide:

1. Hallar a y la función de distribución de X.

sol. 1/12

2. Hallar la probabilidad de que X esté comprendido entre 1 y 2.

5/18

3. P(X < 1).

sol.- 1/9

4. P(X < 2|X > 1)

sol.- 45/144

5.-  sea Y una variable aleatoria con función de densidad py(y) =  0,2  −1 ≤ y ≤ 0. 

0,2 + k y   0 < y ≤ 1           0 en el resto

 Determiniar el valo r de k

sol.- 1.2

6.-  la cantidad aleatoria de dinero ahorrado por una persona en un mes sigue una ley de probabilidad dada por:

f(x)={ 0, x<0, x/2, 0 <_ x< 1, 1/2, 1<_x<2, x/4, 2<_x< 4, 1, 4<_x)

donde x viene expresando en cientos de euros. determinar la probabilidad de que, en un mes la cantidad de dinero ahorrado 

 a) sea superior a 200 euros

sol.-  p(x>2) = 0.5

b) sea inferios a 450 euros

sol.  p(x>450)=1

c) sea superios a 50 y menor o iguala 250

sol.- p(0.5<x <_ 250)= 3/8

d) calcular el ahorro mensual medio.

E{x}= 1.75

7.-  con objeto de establecer un plan de produccion, una empresa ha estimado que la demanda aleatoria de sus ptenciales clientes se comportará semanalmente con arreglo a la ley de probabilidad definida por la funcion de densidad.

px(x)= { 3/8 (4x-2x2)      0 <_x <_2

              0                      en el resto}

 donde x viene expreada en millones de unidades. ¿que cantidad C deberá tener dispuesta a la venta, al comienso de cada semana, para poder satisfaces la demanda en dicho periodo con una probabilidad de 0.5?

sol.- sol.-  1

 8.- cierta aleacion de forma con la mezcla fundida de dos metales. la aleacion que resulta contiene cierto porcentaje de plomo X, que puede considerarse como una variable aleatoria. suponiendo que X  tiene la sigueinte funcion de densidad de probabilidad:

px(x)=  10 ^-5 3X(100-x)/5, 0<_ x<_ 100, y que el beneficio neto G obtenido al vender esta aleacion, es una seccion 3: variables aleatorias

 funcion del porcentaje plomo  G= A+BX, se pide calcular el beneficio esperado. 

SOL.- E[G| = A+ 50B

9.-  Si la duración en horas de cierto tubo de radio es uan variable aleatoria continua Z con funsion de densidad

px(x)= 100/x^{2,   x> 100,}

 ^{9.- probabilidad de que un tubo dure menos de 200 horas si se sabe que el tubo funciona todavia despues de 150 horas de servicio}

^{sol.- 1/4}

 ^{10.- si se intalan tres de estos tubos en un conjunto, probabilidad de que exactamente uno tenga que ser sutituido  después de 150 horas de serviso.}

^{sol.-  4/9}

^{11.- ¡cual es el numero minimo de tubos n que pueden poner en un sistema de paralelo, de modo que  hay una probabilidad 0.999 de que después de 150 horas de servicio funcione todavia el sistema?}

sol.- 6.29

12.- El tiempo de vida en cientos de horas de un transitor es una variable aleatoria z con función de distribucion

fz(z) { 0 z<0

            1-e ^{-z,2   0<_z}}

^{13- obtener la funcion de densidad de probabilidad pz(z).}

^{sol.- z>0}

^{14.- calcular la probabilidad de que un determinado transitor dure mas de 200 horas.}

^sol.-e ^-4 

^{15.- una estructura metálica puede sufrir, debido al calor una dilatacion que que medida en cm es una variable aleatoria x con función de densidad de probabilidad dada por:}

^{px(x)= { ax   0 <_ x <_ 3}

                ^{b       3<  x    <5}

             b/3(8-x) 5<_ x<_8}

16.- sabiendo que la función de densidad de probabilidad es una funcion continua de x, determinar a y b

sol.-  1

 17.- calcular e interpretar la probabilidad de que la dilatacion sea inferior a 3

sol.- 3/10

18.- si con un aparato se ha observado que la estructura ha dilatado mas de 3 cm, ¿ con qué probabilidad la dilatación estará entre 3 cm y 5 cm?

sol.-  4/7 

19.-  sea una variable aleatoria X, que tiene como función de densidad:

     px(x)= { x + 6/50     -6 <_ x<_4

                    0                    resto}

calcular la función de distribución de X

F(x)= ʃ^x_-6   x+6 _{/50 dx= 1/50(1/2x}²  6x + 18)

20.- sea x una variable aleatoria con E(x) = 2  y var(x)= 0.5. sea y = 3X-8. hallar E(y) y var(y)

sol.-  E(y)= E(3x  -8)=3E(x)-8=-2

          var(y)=var(3x-8)= 9var(x)= 4.5

21.- la demanda , expresada en toneladas, de un determinado producto es una variable aleatoria cuya funsion de densidad es 

px(x)= x/6. 2<_ x <_4

cuales son la media, la varianza y la mediana de esta demanda?

el fabricante del producto sabe que cada kilo vendido aporta un beneficio de 12 euros , y cada kiloque queda sinvender supone una perdida de 6 euros. es por tanto, importante para él establecer cual es la cantidad a fabricar. si el criterio para establecer dicha cantidad es la maximizar la ganacia esperada, determinar cuál e sla fabricacion optima.

sol.- 3.46

22.-  supongamos que una variable aleatoria x tiene funsion de densidad de probabilidad:
px(x)= 2X  0<x<1
 determinar la función de densidad de probabilidad de las variables
a) y= h(x)= 3x +1
sol-  f(y) 2/3(y-1)(3)  1<y<4
b) z=H(x)= e ^{-x 
sol.- -2 ln/Z}       e ^-3<z< e ^-1

4.3 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL

La distribución normal es también un caso particular de probabilidad de variable aleatoria contínua, fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se le conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss". La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media (µ) y su desviación estándar (&#963;). Con esta notación, la densidad de la normal viene dada por la ecuación:

Existen dos razones básicas por las cuales la distribución normal ocupa un lugar tan prominente en la estadística :

Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran número de situaciones en la que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras.

La distribución normal casi se ajusta a las distribuciones de frecuencias reales observadas en muchos fenómenos, incluyendo características humanas, resultados de procesos físicos y muchas otras medidas de interés para los administradores, tanto en el sector público como en el privado.

Propiedad:

No importa cuáles sean los valores de µ y &#963; para un distribución de probabilidad normal, el área total bajo la curva siempre es 1, de manera que podemos pensar en áreas bajo la curva como si fueran probabilidades. Matemáticamente es verdad que:

Aproximadamente el 68% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 1 desviación estándar de la media.

Aproximadamente el 95.5% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 2 desviaciones estándar de la media.

Aproximadamente el 99.7% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 3 desviaciones estándar de la media.

Estas gráficas muestran tres formas diferentes de medir el área bajo la curva normal. Sin embargo, muy pocas de las aplicaciones que haremos de la distribución normal de probabilidad implican intervalos de exactamente (más o menos) 1, 2 ó 3 desviaciones estándar a partir de la media. Para estos casos existen tablas estadísticas que indican porciones del área bajo la curva normal que están contenidas dentro de cualquier número de desviaciones estándar (más o menos) a partir de la media.

Afortunadamente también podemos utilizar una distribución de probabilidad normal estándar para encontrar áreas bajo cualquier curva normal. Con esta tabla podemos determinar el área o la probabilidad de que la variable aleatoria distribuida normalmente esté dentro de ciertas distancias a partir de la media. Estas distancias están definidas en términos de desviaciones estándar.

USO DE LA TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORLAM DE PROBABILIDAD NORMAL STANDAR

Para cualquier distribución normal de probabilidad, todos los intervalos que contienen el mismo número de desviaciones estándar a partir de la media contendrán la misma fracción del área total bajo la curva para cualquier distribución de probabilidad normal. Esto hace que sea posible usar solamente una tabla de la distribución de probabilidad normal estándar.

EL VALOR DE Z ESTA DETERMINADO POR LA FORMULA:

En la que:

x = valor de la variable aleatoria que nos preocupa.

µ = media de la distribución de la variable aleatoria.

&#963; = desviación estándar de la distribución.

z = número de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la

distribución. (el uso de z es solamente un cambio de escala de medición del

eje horizontal)

EJEMPLO.

Partiendo de la misma premisa, µ = 500

y &#963; = 100. ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome entre 500 y 650 horas en completar el programa de entrenamiento?

Z= 1.5 desviaciones estándar

Si buscamos Z=1.5 (refiérase a la tabla), encontramos una probabilidad de 0.4332.

Por lo tanto, la probabilidad de que un candidato escogido al azar requiera entre 500 y 650 horas para terminar el programa de entrenamiento es de 0.4332

EJERCICIOS CON RESPUESTA

1.-  los pesos de los individuos de una poblacion se distribuye normalemente con media 70 kg y desviacion típica  6 kg de una poblacion de 2000 personas, calcula cuantas personas tendrán un peso comprendido entre 64 y 76 kg
sol.-  1365 personas. 
2.-  la media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es de 70 kg y la desviación tipica 3 kg. suponiendo que los pesos se distribuyen normalemente, hallar cuántos estudiantes pesan entre 60 y 75 kg
sol.-  476

3.- ¿cuántas personas pesan mas de 90 kg?
sol.-  0

4.-  se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con medida  78 y desviacion tipica 36. se pide:
 1.- cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificacion superior a 72?

sol.- 0.5636

5.- tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribucion una  distribucion n(65, 18). se desea clasificar a los examinados en tres grupos de baja cultura general,  de cultura general aceptable , de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la poblacion, un 65% el segundo y un 15% ene el tercero. ¿ cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

sol.-  Z_{1=  - 0.84}
         Z_{2=  1.04}

6.- varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviacion típica 15

sol.- 0.3797.

7.- ¿que intevalo centrado en 100 contiene al 50 % de la poblacion?
sol.- (90,110)

8.-  una población normal tiene una medida de 80, una desviación estándar de 14

a) calcular la probabilidad de un valor localizado entre 75 y 90
 sol.- p(75<_ x<_90)= 0.4017

 b) calcule la probabilidad de un valor de 75  o menos
 sol.- p(x<_75)= 0.3594

 9.- los montos de dinero que se piden en las solicitudes de prestamos en down river federal  savings tiene una distribucion normal, una media de $ 70,000 y una desviacion estándar de $ 20. 000. Esta mañana se recibio una solicitud de préstamo. cuál es la probabilidad de que el monto solicitado sea de $ 80, 000 o superior?
sol.- p(x>_ 80,000)= 0. 6915 

10.- calcular el monto solicitado que oscile entre $ 65,000 y 80, 000

sol.- p(65,000<_ x <_ 80,000)= 0.2902  

11.- calcular el monto solicitado sea de $65,000 o superior
sol.- p(x>_ 65,000)= 0.5987
 12.- entre las ciudades de estados unidos con una poblacion de mas de 250,000 habitantes, la  media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. el tiempo de viaje mas largo pertenece a la ciudad de nueva york, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. suponga que la distribucion de kis tiempos de viaje en la ciudad de nueva york tiene una distribucion de probabilidad normal y la desviacion estandar es de 7.5 minutos 

 que  porcentaje de viajes en la ciudad de nueva york  consumen menos de 30 minutos
sol.-  p(x<_30)= 13.35%
13.- ¿ que porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?
sol.- p(30<_ x <_ 35)= 0.1965= 19.65%
14.-  dada una  distribución normal estándar  encuentre el área bajo la curva que está  a la izquierda de z= 1.43
sol.- p(z<1.43)= _{Φ(1.43)= 0.9236
15.-  Dada una distribución  normal estándar con µ = 30 y σ = 6, encuentre p(z<k)= 0.0427
sol.- =-1.72
16.- dada una variable x normalmente distribuida con media 18 y desviación estándar 2.5, encuentre p(x<15)
sol.-} p(x<15)=0.1151
17.- un investigador cientifico reporta que unos ratones viran un promedio de 40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y despues se enriquecen con vitaminas y proteinas, suponga que las vidas de tales ratones se distribuyen normlamente con una desviacion estandar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de que un raton dado viva mas de 32 meses 
sol.- p(x>32)=0.8979
18.- calcular el área a la derecha de z=1.5
sol.- A=0.066
19.- calcular el área entre z= 0 y z=1.3
sol.- .4032
20.- encontrar el área bajo la curva si  z=-1.5
sol.-0.4332