4.1 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La distribución Binomial es un
caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, y por sus
aplicaciones, es posiblemente la más importante.
Esta distribución corresponde a
la realización de un experimento aleatorio que cumple con las siguientes
condiciones:
* Al realizar el experimento sólo
son posible dos resultados: el suceso A, llamado éxito, y el suceso B , llamado
fracaso.
* Al repetir el experimento, el
resultado obtenido es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
* La probabilidad del suceso A es
constante, es decir, no varía de una prueba del experimento a otra.
* En cada experimento se realizan
n pruebas idénticas.
Todo experimento que tenga estas
características se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial o
distribución de Bernoulli.
En general, si se tienen n
ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de fracaso q, entonces la
distribución de probabilidad que la modela es la distribución de probabilidad
binomial y su regla de correspondencia es:
Donde:
P(X)= es la probabilidad de
ocurrencia del evento
p = es la probabilidad de éxito
del evento (en un intento)
q = es la probabilidad de fracaso
del evento (en un intento) (se define como q = 1 – p )
X = ocurrencia del evento o
éxitos deseados
n = número de intentos
EJEMPLO
¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar una misma moneda 6 veces ?
Donde:
P(X)= Probabilidad de que ocurra el evento
p = (0.5)
q = (se define como q = 1 – p ) (0.5)
X = 2
n = 6
¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar una misma moneda 6 veces ?
Donde:
P(X)= Probabilidad de que ocurra el evento
p = (0.5)
q = (se define como q = 1 – p ) (0.5)
X = 2
n = 6
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Se emplea para calcular la probabilidad de obtener determinado número de éxitos en un espacio
muestral de n ensayos; pero a
diferencia de la distribución binomial es que los datos de la muestra se
extraen sin reemplazo en una
población finita. Por esto es que el resultado de una observación depende
o es afectado por el resultado de
cualquier otra u otras observaciones anteriores.
Es decir la distribución
hipergeométrica se emplea para muestreos sin reemplazo de una población
finita
cuya probabilidad de ocurrencia
cambia a lo largo del ensayo.
Dado un espacio muestral S de tamaño N con los subespacios M ⊂ N y (N - M) ⊂ N entonces, la
probabilidad de que en n ensayos
x pertenezca a M y (n - x) pertenezca a (N - M) está dada por:
P(x ,N, M, n)=
(M/X)(N-M/x-n) /( N/n)
donde:
N = El tamaño de espacio muestral
S
n = El número de ensayos
M = El número de éxitos en el
espacio muestral
N - M = Número de fracasos del
espacio muestral
x = Número de éxitos en la
muestra
n - x = Número de fracasos de la
muestra.
Si en una empresa se presentan
para cubrir dos vacantes 13 aspirantes de los cuales 5 son hombres y
8 son mujeres, calcular " El
número de hombres contratados."
N = {13 aspirantes para cubrir 2
vacantes}
A = {Número de hombres
contratados}
E0 = Se contratan x0 = 0 hombres,
equivale a contratar (n - x0) = 2 mujeres.
E1 = Se contratan x1 = 1 hombres,
equivale a contratar (n - x1) = 1 mujeres.
E2 = Se contratan x2 = 2 hombres,
equivale a contratar (n - x2) = 0 mujeres.
desarrollando
N = 13 total de aspirantes
M = 5 aspirantes hombres
N-M = 8 aspirantes mujer
n = 2 vacantes totales
x = 0,1,2 hombres posibles a
contratar
n-x = 2,1,0 mujeres posibles a
contratar
P(E0) =
P(0,13,5,2)=(5/0)(8/2)/(13/2)= 28/78 = 35. 88%
P(E1) = P(1,13,5,2)=(5/1)(8/1)/(13/2)= 40/78 =51.28%
P(E2) = P(2,13,5,2)=(5/2)(8/0)/(13/2)= 10/78 = 12.82%
EJERCICIOS CON RESPUESTAS
1.- Se lanza una moneda 4 veces. calcular la probabilidad de que salgan mas caras que cruces.
SOL.- 0.3125
2.- Un agente de seguros vende
pólizas a cinco personas de la misma edad y que tienen buena salud. según las
tablas actuales, la probabilidad de que una persona es estas condiciones viva
30 años o mas es de 2/3. hallar la probabilidad de que. transcurridos 30
años vivan las cinco persoans.
Sol.- 0.132
3.- del ejercico anterio calcular
la probabilidad de que vivan al menos tres persoanas
Sol.- 0.791
4.- si de seis a siete de la
tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicado, ¿ cuál
es la probabilidad de que cuando se marquen 10 numeros de telefono elegidos al
azar, sólo comuniquen 2?
Sol.- 0.3020
5.- La probabilidad de que un hombre
acierte en el blanco es de 1/4. si dispara 10 veces ¿ cúal es la probabilidad
de que acierte exactamente en tres oacaciones?
Sol.- 0.25
6.- ¿En donde se utiliza la
distribucion binomial?
sol. Juegos de
azar, Control de calidad de un producto , en educación. en las
finanzas.
7.- menciona el nombre del autor
quen planteo la distribucion binomial
Sol.- Jacobo Bernoulli
8.- un examen consta de 10
preguntas a las que hay que contestar si o no, suponiendo que a las personas
que se le aplica no sabe contestar a ninguna de las preguntas y en consecuencia
contesta la azar. ¿cuál es la probabilidad de tener 5 aciertos?
sol.- 0.2461
9.- ¿cual es la probabilidad de
obtener algún acierto?
Sol.- 0.99
10.- La probabilidad de que un
estudiante obtenga un titulo de licenciatura es de 0.3. hallara la probabilidad
de que un grupo de siete estudiantes matriculados en primer curso finalice la
carrea
SOL.- 0.7
11.- ninguno de los siete
finalice la carrera
sol.- 0.0824
12.- al menos 2 acaben la carrera
Sol.- 0.0002
13.- La probabilidad de que un
alumno de 1° de bachillerato repita curso es de 0.3, elegimos 20 alumnos al
azar ¿ cual es la probabilidad de que haya exactamente 4 alumnos repetidores?
Sol.- 0.13
14.- calcular la
probabilidad de que una familia que tiene cuatro hijos, tres de ellos sean
niños.
Sol.- 0.25
15.- cinco fabricantes producen
en determinado dispositivo,cuya calidad varia de un fabricante a otro. se
eligen 3 fabricantes al azar haya la probabilidad de que la seleccion contengan
2 de las 3 mejores
Sol.- 0.6
17.- En una oficina donde se
ensamblan computadoras, en una mesa hay 20 chips, de los cuales
6 están dañados,el señor gates recoge 8 chips y mas tarde otra
persona recoje los restantes,¿ cual es la probabilidad de
que sólo uno de ellos se hay llevado todos los chips defectuosos?
Sol.- 0.0245
18.- en un lote de 10 proyectiles
se disparan 4 al azar si el lote contiene 5 proyectiles que no disparan ¿ cuál
es la probabilidad de que los 4 disparen?
Sol.- 0.0238
19.- En una fiesta hay 20
personas ; 14 casadas y 6 solteras, se eligen 3 personas al azar ¿cuál es la
probabilidad de que las 3 sean solteras?
Sol.- 0.0175
20.-En una urna hay 7 bolas
blancas y 5 negras. se sacan 4 bolas ¿cuál es la probabilidad de que
3 sean blancas?
Sol.- 0.3535
4.2 DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD CON VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Una distribución de probabilidad
indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un
experimento si éste se llevase a cabo.
Es decir, describe la
probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una
herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un
escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de
diversos fenómenos naturales
Toda distribución de probabilidad es generada por
una variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el
valor tomado es totalmente al azar), y puede ser de dos tipos:
Variable aleatoria
continua. Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre
dos
valores cualesquiera; ésta puede
asumir infinito número de valores y éstos se pueden medir.
La estatura de un alumno de un
grupo escolar.
El peso en gramos de una moneda.
La edad de un hijo de familia.
Las dimensiones de un vehículo.
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA (x).
Se llama asi Porque puede tomar
tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos dentro
de un mismo intervalo. Por ejemplo:
x es la Variable que nos define
la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral (14.8 gr,
12.1, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8, …, n)
PROPIEDADES DE UNA VARIABLE
ALEATORIA DISCRETA (X)
p(x) Las probabilidades asociadas
a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero. Dicho
de otra forma, la función de densidad de probabilidad deberá tomar solo valores
mayores o iguales a cero.
Diremos que una variable
aleatoria X continua tiene una distribución absolutamente continua si existe
una función real f, positiva e integrable en el conjunto de números reales, tal
que la función de distribución F de X se puede expresar como
EJERCICIOS CON RESPUESTAS
Sea X una variable aleatoria que
tiene como función de densidad de probabilidad f(x)=a(1+x2) si x ∈ (0,3)
y f(x) = 0
en los dem´as casos. Se pide:
1. Hallar a y la función de
distribución de X.
sol. 1/12
2. Hallar la probabilidad de que
X esté comprendido entre 1 y 2.
5/18
3. P(X < 1).
sol.- 1/9
4. P(X < 2|X > 1)
sol.- 45/144
5.- sea Y una variable
aleatoria con función de densidad py(y) = 0,2 −1 ≤ y ≤ 0.
0,2 + k y 0 < y ≤ 1
0 en el resto
Determiniar el valo r de k
sol.- 1.2
6.- la cantidad aleatoria
de dinero ahorrado por una persona en un mes sigue una ley de probabilidad dada
por:
f(x)={ 0, x<0, x/2, 0 <_
x< 1, 1/2, 1<_x<2, x/4, 2<_x< 4, 1, 4<_x)
donde x viene expresando en
cientos de euros. determinar la probabilidad de que, en un mes la cantidad de
dinero ahorrado
a) sea superior a 200 euros
sol.- p(x>2) = 0.5
b) sea inferios a 450 euros
sol. p(x>450)=1
c) sea superios a 50 y menor o
iguala 250
sol.- p(0.5<x <_ 250)= 3/8
d) calcular el ahorro mensual
medio.
E{x}= 1.75
7.- con objeto de
establecer un plan de produccion, una empresa ha estimado que la demanda
aleatoria de sus ptenciales clientes se comportará semanalmente con arreglo a
la ley de probabilidad definida por la funcion de densidad.
px(x)= { 3/8 (4x-2x2)
0 <_x <_2
0
en el resto}
donde x viene expreada en
millones de unidades. ¿que cantidad C deberá tener dispuesta a la venta, al
comienso de cada semana, para poder satisfaces la demanda en dicho periodo con
una probabilidad de 0.5?
sol.- sol.- 1
8.- cierta aleacion de
forma con la mezcla fundida de dos metales. la aleacion que resulta contiene
cierto porcentaje de plomo X, que puede considerarse como una variable
aleatoria. suponiendo que X tiene la sigueinte funcion de densidad de
probabilidad:
px(x)= 10 -5 3X(100-x)/5,
0<_ x<_ 100, y que el beneficio neto G obtenido al vender esta aleacion,
es una seccion 3: variables aleatorias
funcion del porcentaje
plomo G= A+BX, se pide calcular el beneficio esperado.
SOL.- E[G| = A+ 50B
9.- Si la duración en horas
de cierto tubo de radio es uan variable aleatoria continua Z con funsion de
densidad
px(x)= 100/x2, x>
100,
9.- probabilidad de que un
tubo dure menos de 200 horas si se sabe que el tubo funciona todavia despues de
150 horas de servicio
sol.- 1/4
10.- si se intalan tres de
estos tubos en un conjunto, probabilidad de que exactamente uno tenga que ser
sutituido después de 150 horas de serviso.
sol.- 4/9
11.- ¡cual es el numero minimo de
tubos n que pueden poner en un sistema de paralelo, de modo que hay una
probabilidad 0.999 de que después de 150 horas de servicio funcione todavia el
sistema?
sol.- 6.29
12.- El tiempo de vida en
cientos de horas de un transitor es una variable aleatoria z con función de
distribucion
fz(z) { 0 z<0
1-e -z,2 0<_z}
13- obtener la funcion de
densidad de probabilidad pz(z).
sol.- z>0
14.- calcular la probabilidad de
que un determinado transitor dure mas de 200 horas.
sol.-e -4
15.- una estructura metálica
puede sufrir, debido al calor una dilatacion que que medida en cm es una
variable aleatoria x con función de densidad de probabilidad dada
por:
px(x)= {
ax 0 <_ x <_ 3
b 3<
x <5
b/3(8-x) 5<_ x<_8}
16.- sabiendo que la función de
densidad de probabilidad es una funcion continua de x, determinar a y b
sol.- 1
17.- calcular e interpretar
la probabilidad de que la dilatacion sea inferior a 3
sol.- 3/10
18.- si con un aparato se ha
observado que la estructura ha dilatado mas de 3 cm, ¿ con qué probabilidad la
dilatación estará entre 3 cm y 5 cm?
sol.- 4/7
19.- sea una variable
aleatoria X, que tiene como función de densidad:
px(x)= { x +
6/50 -6 <_ x<_4
0
resto}
calcular la función de
distribución de X
F(x)= ʃx-6
x+6 /50 dx= 1/50(1/2x2 6x +
18)
20.- sea x una variable aleatoria
con E(x) = 2 y var(x)= 0.5. sea y = 3X-8. hallar E(y) y var(y)
sol.- E(y)= E(3x
-8)=3E(x)-8=-2
var(y)=var(3x-8)= 9var(x)= 4.5
21.- la demanda , expresada en
toneladas, de un determinado producto es una variable aleatoria cuya funsion de
densidad es
px(x)= x/6. 2<_ x <_4
cuales son la media, la varianza
y la mediana de esta demanda?
el fabricante del producto sabe
que cada kilo vendido aporta un beneficio de 12 euros , y cada kiloque queda
sinvender supone una perdida de 6 euros. es por tanto, importante para él
establecer cual es la cantidad a fabricar. si el criterio para establecer dicha
cantidad es la maximizar la ganacia esperada, determinar cuál e sla fabricacion
optima.
sol.- 3.46
22.- supongamos que una variable aleatoria x tiene funsion de densidad de probabilidad:
px(x)= 2X 0<x<1
determinar la función de densidad de probabilidad de las variables
a) y= h(x)= 3x +1
sol- f(y) 2/3(y-1)(3) 1<y<4
b) z=H(x)= e -x
sol.- -2 ln/Z e -3<z< e -1
22.- supongamos que una variable aleatoria x tiene funsion de densidad de probabilidad:
px(x)= 2X 0<x<1
determinar la función de densidad de probabilidad de las variables
a) y= h(x)= 3x +1
sol- f(y) 2/3(y-1)(3) 1<y<4
b) z=H(x)= e -x
sol.- -2 ln/Z e -3<z< e -1
4.3 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
NORMAL
La distribución normal es también
un caso particular de probabilidad de variable aleatoria contínua, fue
reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754).
Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más
profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se le conozca,
más comúnmente, como la "campana de Gauss". La distribución de una
variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media (µ)
y su desviación estándar (σ). Con esta notación, la densidad de la
normal viene dada por la ecuación:
Existen dos razones básicas por
las cuales la distribución normal ocupa un lugar tan prominente en la
estadística :
Tiene algunas propiedades que la
hacen aplicable a un gran número de situaciones en la que es necesario hacer
inferencias mediante la toma de muestras.
La distribución normal casi se
ajusta a las distribuciones de frecuencias reales observadas en muchos fenómenos,
incluyendo características humanas, resultados de procesos físicos y muchas
otras medidas de interés para los administradores, tanto en el sector público
como en el privado.
Propiedad:
No importa cuáles sean los
valores de µ y σ para un distribución de probabilidad normal, el área
total bajo la curva siempre es 1, de manera que podemos pensar en áreas bajo la
curva como si fueran probabilidades. Matemáticamente es verdad que:
Aproximadamente el 68% de todos
los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 1
desviación estándar de la media.
Aproximadamente el 95.5% de todos
los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 2
desviaciones estándar de la media.
Aproximadamente el 99.7% de todos
los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 3
desviaciones estándar de la media.
Estas gráficas muestran tres
formas diferentes de medir el área bajo la curva normal. Sin embargo, muy pocas
de las aplicaciones que haremos de la distribución normal de probabilidad
implican intervalos de exactamente (más o menos) 1, 2 ó 3 desviaciones estándar
a partir de la media. Para estos casos existen tablas estadísticas que indican
porciones del área bajo la curva normal que están contenidas dentro de
cualquier número de desviaciones estándar (más o menos) a partir de la media.
Afortunadamente también podemos
utilizar una distribución de probabilidad normal estándar para encontrar áreas
bajo cualquier curva normal. Con esta tabla podemos determinar el área o la
probabilidad de que la variable aleatoria distribuida normalmente esté dentro
de ciertas distancias a partir de la media. Estas distancias están definidas en
términos de desviaciones estándar.
USO DE LA TABLA DE DISTRIBUCIÓN
NORLAM DE PROBABILIDAD NORMAL STANDAR
Para cualquier distribución
normal de probabilidad, todos los intervalos que contienen el mismo número de
desviaciones estándar a partir de la media contendrán la misma fracción del
área total bajo la curva para cualquier distribución de probabilidad normal. Esto
hace que sea posible usar solamente una tabla de la distribución de
probabilidad normal estándar.
EL VALOR DE Z ESTA DETERMINADO
POR LA FORMULA:
En la que:
x = valor de la variable
aleatoria que nos preocupa.
µ = media de la distribución de
la variable aleatoria.
σ = desviación estándar
de la distribución.
z = número de desviaciones
estándar que hay desde x a la media de la
distribución. (el uso de z es
solamente un cambio de escala de medición del
eje horizontal)
EJEMPLO.
Partiendo de la misma premisa, µ
= 500
y σ = 100. ¿Cuál es la
probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome entre 500 y 650 horas
en completar el programa de entrenamiento?
Z= 1.5
desviaciones estándar
Si buscamos Z=1.5 (refiérase a la
tabla), encontramos una probabilidad de 0.4332.
Por lo tanto, la probabilidad de
que un candidato escogido al azar requiera entre 500 y 650 horas para terminar
el programa de entrenamiento es de 0.4332
EJERCICIOS CON RESPUESTA
1.- los pesos de los individuos de una poblacion se distribuye normalemente con media 70 kg y desviacion típica 6 kg de una poblacion de 2000 personas, calcula cuantas personas tendrán un peso comprendido entre 64 y 76 kg
sol.- 1365 personas.
2.- la media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es de 70 kg y la desviación tipica 3 kg. suponiendo que los pesos se distribuyen normalemente, hallar cuántos estudiantes pesan entre 60 y 75 kg
sol.- 476
3.- ¿cuántas personas pesan mas de 90 kg?
sol.- 0
4.- se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con medida 78 y desviacion tipica 36. se pide:
1.- cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificacion superior a 72?
sol.- 0.5636
5.- tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribucion una distribucion n(65, 18). se desea clasificar a los examinados en tres grupos de baja cultura general, de cultura general aceptable , de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la poblacion, un 65% el segundo y un 15% ene el tercero. ¿ cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?
sol.- Z1= - 0.84
Z2= 1.04
6.- varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviacion típica 15
sol.- 0.3797.
7.- ¿que intevalo centrado en 100 contiene al 50 % de la poblacion?
sol.- (90,110)
8.- una población normal tiene una medida de 80, una desviación estándar de 14
a) calcular la probabilidad de un valor localizado entre 75 y 90
sol.- p(75<_ x<_90)= 0.4017
b) calcule la probabilidad de un valor de 75 o menos
sol.- p(x<_75)= 0.3594
9.- los montos de dinero
que se piden en las solicitudes de prestamos en down river federal
savings tiene una distribucion normal, una media de $ 70,000 y una
desviacion estándar de $ 20. 000. Esta mañana se recibio una solicitud de
préstamo. cuál es la probabilidad de que el monto solicitado sea de $ 80, 000 o
superior?
sol.- p(x>_ 80,000)= 0. 6915
10.- calcular el monto solicitado que oscile entre $ 65,000 y 80, 000
sol.- p(65,000<_ x <_ 80,000)= 0.2902
11.- calcular el monto solicitado sea de $65,000 o superior
sol.- p(x>_ 65,000)= 0.5987
12.- entre las ciudades de estados unidos con una poblacion de mas de 250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. el tiempo de viaje mas largo pertenece a la ciudad de nueva york, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. suponga que la distribucion de kis tiempos de viaje en la ciudad de nueva york tiene una distribucion de probabilidad normal y la desviacion estandar es de 7.5 minutos
que porcentaje de viajes en la ciudad de nueva york consumen menos de 30 minutos
sol.- p(x<_30)= 13.35%
13.- ¿ que porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?
sol.- p(30<_ x <_ 35)= 0.1965= 19.65%
14.- dada una distribución normal estándar encuentre el área bajo la curva que está a la izquierda de z= 1.43
sol.- p(z<1.43)= Φ(1.43)= 0.9236
15.- Dada una distribución normal estándar con µ = 30 y σ = 6, encuentre p(z<k)= 0.0427
sol.- =-1.72
16.- dada una variable x normalmente distribuida con media 18 y desviación estándar 2.5, encuentre p(x<15)
sol.- p(x<15)=0.1151
17.- un investigador cientifico reporta que unos ratones viran un promedio de 40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y despues se enriquecen con vitaminas y proteinas, suponga que las vidas de tales ratones se distribuyen normlamente con una desviacion estandar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de que un raton dado viva mas de 32 meses
sol.- p(x>32)=0.8979
18.- calcular el área a la derecha de z=1.5
sol.- A=0.066
19.- calcular el área entre z= 0 y z=1.3
sol.- .4032
20.- encontrar el área bajo la curva si z=-1.5
sol.-0.4332
sol.- p(x>_ 80,000)= 0. 6915
10.- calcular el monto solicitado que oscile entre $ 65,000 y 80, 000
sol.- p(65,000<_ x <_ 80,000)= 0.2902
11.- calcular el monto solicitado sea de $65,000 o superior
sol.- p(x>_ 65,000)= 0.5987
12.- entre las ciudades de estados unidos con una poblacion de mas de 250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. el tiempo de viaje mas largo pertenece a la ciudad de nueva york, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. suponga que la distribucion de kis tiempos de viaje en la ciudad de nueva york tiene una distribucion de probabilidad normal y la desviacion estandar es de 7.5 minutos
que porcentaje de viajes en la ciudad de nueva york consumen menos de 30 minutos
sol.- p(x<_30)= 13.35%
13.- ¿ que porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?
sol.- p(30<_ x <_ 35)= 0.1965= 19.65%
14.- dada una distribución normal estándar encuentre el área bajo la curva que está a la izquierda de z= 1.43
sol.- p(z<1.43)= Φ(1.43)= 0.9236
15.- Dada una distribución normal estándar con µ = 30 y σ = 6, encuentre p(z<k)= 0.0427
sol.- =-1.72
16.- dada una variable x normalmente distribuida con media 18 y desviación estándar 2.5, encuentre p(x<15)
sol.- p(x<15)=0.1151
17.- un investigador cientifico reporta que unos ratones viran un promedio de 40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y despues se enriquecen con vitaminas y proteinas, suponga que las vidas de tales ratones se distribuyen normlamente con una desviacion estandar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de que un raton dado viva mas de 32 meses
sol.- p(x>32)=0.8979
18.- calcular el área a la derecha de z=1.5
sol.- A=0.066
19.- calcular el área entre z= 0 y z=1.3
sol.- .4032
20.- encontrar el área bajo la curva si z=-1.5
sol.-0.4332
